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一个关于二项式定理的结论及其推广

山东省临沭第一中学 (276702)　宋昆鹏　管章梅

二项式定理的有关知识在高考中虽每每以小题的形式出现，但却是历年高考的必考内容。高中数学教材中虽然给出了二项式定理，但没有介绍多项式定理，对于一些非标准的二项式展开问题，同学们普遍感到困难，本文对这一问题加以探讨，希望对大家有所帮助。

二项式定理： ，其中展开式中的第 项为：。通过观察我们发现展开式中的每一项的次数之和等于 ，即为等式左边的次数。我们试图对二项式定理的项数加以拓广，找到其求通项的一般方法。首先从三项式开始：在 的展开式中，求含 （其中 ）的项。

解析：，根据二项式定理，含 的项是 （）；

①；在 中含 的项是 ②；

由①②可知，三项展开式中含 的项是

由此可得

结论　 的展开式中，含 （其中 ）的项为

推广　 的展开式中，含 的项是

下面试举几例说明此结论的应用。

中学数学研究　2008 年第 9 期

利用上述结论则可化繁为简，计算量可大大减小。

例1　求 的展开式中含 的项。

解：由上述结论，知含 的项为

例2　在 的展开式中 的系数为（　）（1992 年全国高考题）。
A. 160　B. 240　C. 360　D. 800

解：，根据上述结论可知

根据题意，可知 ，，，，所以 的系数为

故选 B。

评注：展开式中的项本身含有系数，须在计算时给予相应考虑。

例3　若 的展开式中 的系数为 ，则 ______（用数字作答）（2007 年天津高考题）

解：令 ，由结论可知

根据题意，可知
解得
又因为展开式中 的系数为 ，所以

解得 。